Question

证明：在（a+b）ⁿ的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：在二项定理中，令a=1、b=-1，化简可得

C

0 n

+

C

2 n

+…=

C

1 n

+

C

3 n

+…，命题得证．

解答： 证明：在展开式中(a+b)n=

C

0 n

an+

C

1 n

an-1b+…+

C

r n

an-rbr+…+

C

n n

bn(n∈N+)中，
令a=1，b=-1，则(1-1)n=

C

0 n

-

C

1 n

+

C

2 n

-

C

3 n

+…+(-1)n

C

n n

，
即0=(

C

0 n

+

C

2 n

+…)-(

C

1 n

+

C

3 n

+…)，即

C

0 n

+

C

2 n

+…=

C

1 n

+

C

3 n

+…，
即在（a+b）ⁿ的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．