Question

已知向量

a

=（-cos2x，2），

b

=（2，2-

3

sin2x），函数f（x）=

a

•

b

-4．
（Ⅰ）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的最大值并求出相应x的值；
（Ⅱ）若将f（x）图象上的所有点的纵坐标缩小到原来的

1

2

倍，横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移

π

3

个单位得到g（x）图象，求g（x）的最小正周期和对称中心；
（Ⅲ）若f（α）=-1，α∈（

π

4

，

π

2

），求sin2α的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（I）利用数量积运算、两角和差的正弦公式及三角函数的单调性即可得出．
（II）将f（x）图象上的所有点的纵坐标缩小到原来的

1

2

倍，变为y=-2sin(2x+

π

6

)；横坐标伸长到原来的2倍，变为y=-2sin(x+

π

6

)；再向左平移

π

3

个单位得到g（x）=-2sin(x+

π

6

+

π

3

)，即可得出g（x）的最小正期与对称中心．
（III）利用f（α）=-1，α∈（

π

4

，

π

2

），可得sin(2α+

π

6

)，cos(2α+

π

6

)，再利用sin2α=sin(2α+

π

6

-

π

6

)展开即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=

a

•

b

-4
=-2cos2x+4-2

3

sin2x-4=-4sin(2x+

π

6

)，
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
当2x+

π

6

=

7π

6

时，即x=

π

2

时，f（x）_max=2．
（Ⅱ）将f（x）图象上的所有点的纵坐标缩小到原来的

1

2

倍，变为y=-2sin(2x+

π

6

)，
横坐标伸长到原来的2倍，变为y=-2sin(x+

π

6

)，
再向左平移

π

3

个单位得到g(x)=-2sin(x+

π

2

)=-2cosx． 
∴g（x）的最小正期为2π，对称中心为（kπ+

π

2

，0）k∈Z．
（Ⅲ）由f(α)=-1⇒sin(2α+

π

6

)=

1

4

，
∵α∈(

π

4

，

π

2

)，∴2α+

π

6

∈(

2π

3

，

7π

6

)，
∴cos(2α+

π

6

)=-

15

4

．  
∴sin2α=sin(2α+

π

6

-

π

6

)=sin(2α+

π

6

)cos

π

6

-cos(2α+

π

6

)sin

π

6

=

1

4

×

3

2

+

15

4

×

1

2

=

15 + 3

8

．

点评：本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数的图象变换、两角和差的正弦余弦公式、三角函数的基本关系式、数量积运算等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．