题目内容

在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a2=b2+c2+
3
bc．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）设a=
3
，S为△ABC的面积，求S+3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值．
考点：余弦定理,正弦定理
专题：三角函数的求值
分析：（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，将已知等式代入计算求出cosA的值，即可确定出A的度数；
（Ⅱ）利用正弦定理列出关系式，将a与sinA的值代入表示出b与csinA，利用三角形面积公式表示出S，代入所求式子中，利用两角和与差的余弦函数公式化简，根据余弦函数的性质即可确定出最大值以及此时B的值．
解答： 解：（Ⅰ）∵a2=b2+c2+
3
ab，即b2+c2-a2=-
3
bc，
∴cosA=
b2+c2-a2
2bc
=-
3
2
，
则A=
5π
6
；
（Ⅱ）∵a=
3
，sinA=
1
2
，
∴由正弦定理
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
得：b=
asinB
sinA
，csinA=asinC，
∴S=
1
2
bcsinA=
1
2
•
asinB
sinA
•asinC=3sinBsinC，
∴S+3cosBcosC=3sinBsinC+3cosBcosC=3cos（B-C），
当B-C=0，即B=C=
π-A
2
=
π
12
时，S+3cosBcosC取得最大值为3．
点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}
（1）若a1=1，an=3an-1+1，求an；
（2）若Sn=2n2-3n+1，求an．
设
a
=（1，5，-1），
b
=（-2，3，5）．
（1）当（λ
a
+
b
）∥（
a
-3
b
）时，求λ的值；
（2）当（
a
-3
b
）⊥（λ
a
+
b
）时，求λ的值．
已知向量
a
=（-cos2x，2），
b
=（2，2-
3
sin2x），函数f（x）=
a
•
b
-4．
（Ⅰ）若x∈[0，
π
2
]，求f（x）的最大值并求出相应x的值；
（Ⅱ）若将f（x）图象上的所有点的纵坐标缩小到原来的
1
2
倍，横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移
π
3
个单位得到g（x）图象，求g（x）的最小正周期和对称中心；
（Ⅲ）若f（α）=-1，α∈（
π
4
，
π
2
），求sin2α的值．
投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f（n）表示前n年的纯利润总和（f（n）=前n年的总收入一前n年的总支出一投资额）．
（1）该厂从第几年开始盈利？
（2）若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方案：①年平均纯利润达到最大时，以48万元出售该厂；②纯利润总和达到最大时，以10万元出售该厂，问哪种方案更合算？
已知f（x）=ax-
1
x
-a+1，
（1）当a=2时，求关于x的不等式f（x）＞0的解集；
（2）当a＞0时，求关于x的不等式f（x）＜0的解集．
已知等差数列{an}满足a4=5，a2+a8=14，数列{bn}满足b1=1，bn+1=2 an+3•bn．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）求数列{
1
log2bn+1
}的前n项和；
（3）若cn=an•（
2
） an+1，求数列{cn}的前n项和Sn．
圆O1，圆O2的极坐标方程分别为ρ=4cosθ，ρ=-4sinθ，
（1）把圆O1，圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）求经过圆O1，圆O2交点的直线的极坐标方程．
某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°+cos217°-sin13°cos17°；
②sin215°+cos215°-sin15°cos15°；
③sin218°+cos212°-sin18°cos12°
④sin2（-18°）+cos248°-sin（-18°）cos48°
⑤sin2（-25°）+cos255°-sin（-25°）cos55°．
（1）利用计算器求出这个常数；
（2）根据（1）的计算结果，请你写出一个三角恒等式，使得上述五个等式是这个恒等式的特殊情况；
（3）证明你写出的三角恒等式．

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