Question

14．设f（x）是定义在实数集R上的函数，且对任意实数x，y满足f（x-y）=f（x）+f（y）+xy-1恒成立．
（1）求f（0），f（1）；
（2）求函数f（x）的解析式；
（3）若方程f[（f（2x）]=k恰有两个实数根在（-2，2）内，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0得f（0），令x=y=1得f（1）；
（2）令y=x，可得f（x）的解析式；
（3）构造函数令g（x）=-2x⁴+2x²+$\frac{1}{2}$，利用导数研究函数的最大值和最小值，（分别画出y=f[（f（2x）]，与y=k的图象，利与学生理解），即可求出k的取值范围．

解答 解：（1）令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0）-1，即f（0）=1．
令x=y=1，得f（0）=f（1）+f（1）+1-1，
即1=2f（1），即f（1）=$\frac{1}{2}$．
（2）令y=x，得f（0）=f（x）+f（x）+x²-1，
即1=2f（x）+x²-1，
则2f（x）=-x²+2，
则f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+1．
（3）∵f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+1．
∴f（2x）=-2x²+1，
∴f[（f（2x）]=$-\frac{1}{2}$（-2x²+1）²+1=-2x⁴+2x²+$\frac{1}{2}$，
令g（x）=-2x⁴+2x²+$\frac{1}{2}$，
∴g′（x）=-8x³+4x，
令g′（x）=0，解得x=0，或x=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，或x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴g（x）在（-2，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）上单调递增，在（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，2）上单调递减，
∴x=0时g（x）_极小值=g（0）=$\frac{1}{2}$，
当x=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，g（x）_极大值=g（±$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=1，g（±2）=-$\frac{47}{2}$，
当k=1时，-2x⁴+2x²+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，解得x=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，或x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵方程f[（f（2x）]=k恰有两个实数根在（-2，2）内，
∴-$\frac{47}{2}$＜k≤$\frac{1}{2}$，
终上所述：k的取值范围为（-$\frac{47}{2}$，$\frac{1}{2}$）∪{1}．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决本题的关键，导数和函数的极值和最值之间的关系，综合性较强．