Question

5．函数f（x）=3^2x-a•3^x+2，若x＞0时，f（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围是（-∞，2$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 设t=3^x（t＞1），即有t²-at+2≥0在t＞1恒成立，即为a≤t+$\frac{2}{t}$的最小值，运用基本不等式可得最小值，即可得到a的范围．

解答 解：设t=3^x（t＞1），即有t²-at+2≥0在t＞1恒成立，
即为a≤t+$\frac{2}{t}$的最小值，
由t+$\frac{2}{t}$≥2$\sqrt{t•\frac{2}{t}}$=2$\sqrt{2}$，当且仅当t=$\sqrt{2}$，即x=log₃$\sqrt{2}$时，取得最小值．
即有a≤2$\sqrt{2}$，
故答案为：（-∞，2$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用换元法转化为二次不等式恒成立问题，运用参数分离和基本不等式，考查运算能力，属于中档题．