Question

16．如图，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD是等腰直角三角形，∠CMB=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，点O为CD的中点，连接OM．
（1）求证：OM∥平面ABD；
（2）若AB=BC=4，求三棱锥A-BDM的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出OM⊥CD，从而OM⊥平面BCD，进而OM∥AB，由此能证明OM∥平面ABD．
（2）由V_A-BDM=V_M-ABD=V_O-ABD=V_A-BDO，能求出三棱锥A-BDM的体积．

解答 证明：（1）∵△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，点O为CD的中点，
∴OM⊥CD．
∵平面CMD⊥平面BCD，平面CMD∩平面BCD=CD，OM?平面BCD，
∴OM⊥平面BCD，
∵AB⊥平面BCD，
∴OM∥AB，
∵AB?平面ABD，OM?平面ABD，
∴OM∥平面ABD．
解：（2）由（1）知OM∥平面ABD，
∵点M到平面ABD的距离等于点O到平面ABD的距离．
∵AB=BC=4，△BCD是等边三角形，
∴BD=4，OD=2，
连接OB，则OB⊥CD，$OB=2\sqrt{3}$，${V_{A-BDM}}={V_{M-ABD}}={V_{O-ABD}}={V_{A-BDO}}=\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$，
∴三棱锥A-BDM的体积为$\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等体积法的合理运用．