Question

17．已知函数$f（n）=\left\{\begin{array}{l}{n^2}（当n为奇数时）\\-{n^2}（当n为偶数时）\end{array}\right.$且a_n=f（n）+f（n+1），则a₁+a₂+…+a₉₉等于（　　）

• A． 0
• B． 100
• C． -101
• D． -99

Answer 1

分析 函数$f（n）=\left\{\begin{array}{l}{n^2}（当n为奇数时）\\-{n^2}（当n为偶数时）\end{array}\right.$且a_n=f（n）+f（n+1），可得a_2n=f（2n）+f（2n+1）=4n+1，a_2n-1=f（2n-1）+f（2n）=1-4n．可得a_2n+a_2n-1=2．即可得出．

解答 解：∵函数$f（n）=\left\{\begin{array}{l}{n^2}（当n为奇数时）\\-{n^2}（当n为偶数时）\end{array}\right.$且a_n=f（n）+f（n+1），
∴a_2n=f（2n）+f（2n+1）=-（2n）²+（2n+1）²=4n+1，
a_2n-1=f（2n-1）+f（2n）=（2n-1）²-（2n）²=1-4n．
∴a_2n+a_2n-1=2．
则a₁+a₂+…+a₉₉=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a₉₇+a₉₈）+a₉₉
=2×49+1-4×50=-101．
故选：C．

点评 本题考查了数列递推关系、分组求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．