Question

已知函数f（x）=ax²+

b

x

+5（其中常数a，b∈R）满足f（2）+f（-2）=26．
（Ⅰ）若f（-1）=-2000，求f（1）；
（Ⅱ）若函数φ（x）=xf（x）+2^x+2^-x（x∈（0，1））的值域为（0，

15

2

），求b的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下
①证明f（x）恰有一个零点；
②给出一个增函数g（x）使得当x∈N⁺时，g（x）∈N⁺，且

2

5

=r^g（1）+r^g（2）+r^g（3）+…+r^g（n）+…成立．
（已知等式

1

1-q

=1+q+q²+…+q^n-1+…对任意实数q∈（-1，1）恒成立）

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据条件建立方程求出a的值，根据f（-1）=-2000，即可求f（1）；
（Ⅱ）根据函数的单调性的定义判断函数的单调性，结合值域关系即可得到结论；
（Ⅲ）构造g（x）=x，令r=

2

7

即可．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=ax²+

b

x

+5，得f（2）+f（-2）=8a+10，
因为f（2）+f（-2）=26，所以8a+10=26，即a=2．
所以f（1）+f（-1）=a+b+5+a-b+5=2a+10=14，
又f（-1）=-2000，故f（1）=2014；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a=2，所以φ（x）=xf（x）+2^x+2^-x
=2x³+5x+b+2^x+2^-x，
令h（x）=2^x+2^-x，设0≤x₁＜x₂≤1，
则h（x₁）-h（x₂）=2x1+2-x1-2x2-2-x2
=

(2x1-2x2)(2x1+x2-1)

2x1+x2

，
因为0≤x₁＜x₂≤1，所以2x1-2x2＜0，2x1+x2-1＞0，
所以h（x₁）-h（x₂）＜0，即h（x₁）＜h（x₂），
所以h（x）在（0，1）上为增函数，
又因为函数y=2x³与函数y=5x+b在（0，1）上均为增函数，
所以φ（x）在（0，1）上为增函数，
所以φ（x）在（0，1）上的值域为(b+2，b+

19

2

)，
又因为φ（x）在（0，1）上的值域为(0，

15

2

)，
所以

b+2=0 b+ 19 2 = 15 2

，
解得b=-2，
所以b的值是-2；
（Ⅲ）①由（Ⅰ）、（Ⅱ）得a=2，b=-2，
所以f(x)=2x2-

2

x

+5．
当x＜0时，f（x）＞0恒成立，
所以f（x）在（-∞，0）上没有零点；
当x＞0时，由于函数y=2x²+5与函数y=-

2

x

均在（0，+∞）上单调递增，
所以f(x)=2x2-

2

x

+5在（0，+∞）上单调递增．
又f（1）=5＞0，f(

1

4

)=

1

8

-3＜0，
即f(1)•f(

1

4

)＜0，
所以f（x）恰有一个零点；
②令g（x）=x，则
函数g（x）=x是增函数，当x∈N⁺时，g（x）∈N⁺，
此时

2

5

+1=1+r¹+r²+r³+…+rⁿ+…
=

1

1-r

，解得r=

2

7

，
故当给出的增函数为g（x）=x，r=

2

7

时满足题意．

点评：本题考查函数性质的综合应用，求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数性质的综合应用．