题目内容
设a为正实数，函数f（x）=aex的图象与y轴的交点为A，函数g（x）=ln
的图象与x轴的交点为B，若点A和函数g（x）=ln（
）的图象上任意一点的连线的长度的最小值为AB，求正实数a的值．
| x |
| a |
| x |
| a |
考点：函数与方程的综合运用
专题：函数的性质及应用
分析：由题意求出A（0，2a）、B（a，0），由AB取到最小值的条件求出a的值．
解答：
解：由题意得f（0）=a•e0=a，
则得坐标A（0，a），
由g（x）=ln
=0解得x=a，
则得坐标B（a，0），
若使A到B的长度为A到另一条曲线上任意点间距离的最小值，
则直线AB必垂直于曲线y=g（x）在B点的切线，
又g′（x）=
×
=
，
kAB=
=-1，
所以
×(-1)=-1，解得a=1．
则得坐标A（0，a），
由g（x）=ln
| x |
| a |
则得坐标B（a，0），
若使A到B的长度为A到另一条曲线上任意点间距离的最小值，
则直线AB必垂直于曲线y=g（x）在B点的切线，
又g′（x）=
| a |
| x |
| 1 |
| a |
| 1 |
| x |
kAB=
| a-0 |
| 0-a |
所以
| 1 |
| a |
点评：本题考查函数的导数及最值，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知高为1的梯形ABCD内接于半径为1的圆O，若梯形的上底CD=1，则（
+
）•
=（ ）
| OA |
| OB |
| OC |
| A、0 | ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
空间中有四点A，B，C，D，其中
=（2m，m，2），
=（m，m+1，-5），且
+
=（5，
，-3），则直线AB和CD（ ）
| AB |
| CD |
| AB |
| CD |
| 13 |
| 3 |
| A、平行 | B、异面 |
| C、必定相交 | D、必定垂直 |
在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，且PD=AB．
如图是某几何体的三视图，试求它的体积（单位：cm）．