Question

13．已知向量$\overrightarrow m=（{cosA，sinB}），\overrightarrow n=（{cosB，-sinA}）$，$\overrightarrow m•\overrightarrow n=-cos2C$，且A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角．
（I）求角C的大小；
（Ⅱ）若a+b=2c，且△ABC的面积为$15\sqrt{3}$，求c边的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据平面向量的数量积的运算法则及两角和的余弦函数公式化简，得到-cos2C等于-cosC，化简后即可求出cosC的值，根据C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（Ⅱ）利用已知及三角形面积公式可求ab=60，结合已知利用余弦定理即可解得c的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（I）∵$\overrightarrow m•\overrightarrow n=-cos2C$=cosAcosB-sinAsinB=cos（A+B）=-cosC，
∴-cos2C=-cosC，整理可得：2cos²C-cosC-1=0，
∴cosC=-$\frac{1}{2}$或1，
∵C∈（0，π），
∴C=$\frac{2π}{3}$…6分
（Ⅱ）S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$absin$\frac{2π}{3}$=15$\sqrt{3}$，
∴ab=60，a+b=2c，
∵c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-2ab（1+cosC）=20，
∴解得：c=2$\sqrt{5}$…12分

点评 本题主要考查了平面向量的数量积的运算，两角和的余弦函数公式，特殊角的三角函数值，三角形面积公式，余弦定理等知识在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．