Question

已知函数f（x）=ax²-

1

2

x-

3

4

（a＞0），若在任意长度为2的闭区间上总存在两点x₁、x₂，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥

1

4

成立，则a的最小值为

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：要使函数f（x）在任意长度为2的闭区间上总存在两点x₁，x₂，使|f（x₁）-f（x₂）|≥

1

4

成立，只需要|f（

1

4a

-1）-f（

1

4a

）|≥

1

4

恒成立，从而可求实数a的最小值

解答： 解：要使函数f（x）=ax²-

1

2

x-

3

4

（a＞0）在任意长度为2的闭区间上总存在两点x₁，x₂，使|f（x₁）-f（x₂）|≥

1

4

成立，
只需要|f（

1

4a

-1）-f（

1

4a

）|≥

1

4

恒成立
∵f（x）=ax²-

1

2

x-

3

4

=a（x-

1

4a

）²-

1

16a

-

3

4

，
∴|f（

1

4a

-1）-f（

1

4a

）|=|a|≥

1

4

∵a＞0
∴a≥

1

4

∴实数a的最小值为

1

4

故答案为：

1

4

点评：本题以新定义为素材，考查对新定义的理解，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是将问题转化为恒成立．