Question

如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作圆的切线与CD的延长线交于点F，如果DE=

3

4

CE，AC=8

5

，D为EF的中点，则AB=

 

．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：

分析：连接AD，BC，设CE=4x，AE=y，则DF=DE=3x，EF=6x．利用圆的切线的性质，可得△EAF为直角三角形，由勾股定理得：EF²=AE²+AF²，建立关于x，y的关系式，再设BE=z，由相交弦定理得到y，z的关系式，从而能求出x，y，z的值，问题的解．

解答： 解：连接AD，BC．
设CE=4x，AE=y，则DF=DE=3x，EF=6x
∵AB为⊙O的直径，AF为⊙O的切线，
∴∠EAF=90°，∠ACD=∠DAF．
又∵D为Rt△AEF的斜边EF的中点，
∴DA=DE=DF，
∴∠DAF=∠AFD，
∴∠ACD=∠AFD，
∴AF=AC=8

5

．
在Rt△AEF中，由勾股定理得EF²=AE²+AF²，即36x²=y²+320．
设BE=z，由相交弦定理得CE•DE=AE•BE，即yz=4x•3x=12x²，
∴y²+320=3yz①
又∵AD=DE，
∴∠DAE=∠AED．
又∵∠DAE=∠BCE，∠AED=∠BEC，
∴∠BCE=∠BEC，从而BC=BE=z．
在Rt△ACB中，由勾股定理得AB²=AC²+BC²，即（y+z）²=320+z²，
∴y²+2yz=320．②
联立①②，解得y=8，z=16．
∴AB=AE+BE=24．
故答案为：24．

点评：本题考查了圆的切线的性质；勾股定理；相交弦定理，以及用方程思想解决几何问题，综合性很强，有一定的难度．