Question

定义域在R上奇函数f（x）满足f（x+

5

2

）=-f（x），f（1）＞-1，f（4）=log_a2（a＞0且a≠1），则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：首先，根据f（x+

5

2

）=-f（x），得到f（x）是周期为5的函数，然后，得到f（1）=-log_a2，再结合f（1）＞-1，得到log_a2＜1=log_aa，对a的取值进行分类讨论，得到答案．

解答： 解：∵f（x+

5

2

）=-f（x），
∴f（x+5）=f（x），
∴f（x）是周期为5的函数，
∵f（4）=f（5-1）=f（-1）=-f（1）=log_a2
∴f（1）=-log_a2
又∵f（1）＞-1，
∴-log_a2＞-1，
∴log_a2＜1=log_aa，
∴当0＜a＜1时，
∴a＜2，
∴此时，0＜a＜1
当a＞1时，
∴a＞2，
此时，0＜a＜1
综上，a＞2或0＜a＜1
故答案为：（0，1）∪（2，+∞）

点评：本题综合考查了奇函数的性质、周期函数、对数函数的单调性等知识，属于中档题．注意分类讨论思想在解题中的灵活运用．