Question

对任意x∈R，存在m∈[4，+∞），使得不等式|x-2|+|x-3|≥

m2-m+4

m-1

-n成立，则实数n的最小值是

 

．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：利用绝对值不等式可求得|x-2|+|x-3|≥1，问题转化为n≥

m2-m+4

m-1

-1=（m-1）+

4

m-1

（m≥4）恒成立，令t=m-1，则t≥3，转化为n≥t+

4

t

（t≥3）恒成立，只需n≥(t+

4

t

)min即可．

解答： 解：∵|x-2|+|x-3|≥|（x-2）+（3-x）|=1，
∴

m2-m+4

m-1

-n≤1，
∴n≥

m2-m+4

m-1

-1=（m-1）+

4

m-1

（m≥4）恒成立，
令t=m-1，则t≥3，
∴n≥

m2-m+4

m-1

-1=（m-1）+

4

m-1

（m≥4）恒成立，转化为n≥t+

4

t

（t≥3）恒成立，
要求实数n的最小值，只需n≥(t+

4

t

)min即可．
令g（t）=t+

4

t

，当t≥3，g′（t）=1-

4

t2

＞0，
∴g（t）=t+

4

t

在[3，+∞）上单调递增，
∴g（t）_min=g（3）=3+

4

3

=

13

3

，
∴n≥

13

3

，即实数n的最小值是

13

3

．
故答案为：

13

3

．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查等价转化思想与恒成立问题，考查双钩函数的性质及应用，属于难题．