Question

已知f（x），g（x），h（x）都是定义在R上的函数．若存在正实数m，n使得h（x）=mf（x）+ng（x）对任意的x∈R总成立，则称h（x）为函数f（x），g（x）在R上的“和生成”函数；若存在实数θ∈[0，π]，使得g（x）=f（x+θ）f（x）对任意的x∈R总成立，则称 g（x）是函数f（x）在R上的“积生成”函数；当P（x）=sin

x

2

，Q（x）=cos2x时，
（1）判断函数y=cos3x是否为函数P（x），Q（x）在R上的“和生成”函数，请说明理由；
（2）记L（x）为函数P（x），Q（x）在R上的一个“和生成”函数，若L（

π

3

）=1，且L（x）的最大值为4，求L（x）的解析式．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）若函数P（x），Q（x）在R上的“和生成”函数，则存在正实数m，n使得cos3x=msin

x

2

+ncos2x，恒成立，通过取特殊值，得出矛盾，从而解决问题．
（2）由于L（x）为f（x），g（x）在R上的生成函数，则存在正实数m，n使得L（x）=msin

x

2

+ncos2x 恒成立，再结合题中条件得出关于m，n 的方程，即可求得m，n，从而得到代L（x）的解析式．

解答： 解：（1）若函数P（x），Q（x）在R上的“和生成”函数，
则存在正实数m，n使得cos3x=msin

x

2

+ncos2x，恒成立，
取x=π 得：-1=m+n，不符合m、n＞0这个条件，
故函数y=cos3x，（k∈R）不是f（x），g（x）在R上的“和生成”函数．
（2）设L（x）=msin

x

2

+ncos2x，由L（

π

3

）=1，可得

1

2

m-

1

2

n=1，即m=n+2，
∴L（x）=（n+2）sin

x

2

+ncos2x，由于当x=π时，sin

x

2

 和cos2x 同时取得最大值，故L（x）取得最大值为n+2+n=4，
∴n=1，∴L（x）=3sin

x

2

+cos2x．

点评：本题主要考查函数与方程的综合应用，考查函数的值域、函数恒成立问题、三角变换等基础知识，考查运算求解能力，通过举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，体现了转化的数学思想，属于中档题．