Question

已知函数f（x）=ax²-（a+1）x+1，a∈R．
（1）当a＞0时，求函数y=

f(x)

的定义域；
（2）若存在m＞0使关于x的方程f（|x|）=m+

1

m

有四个不同的实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意，f（x）=ax²-（a+1）x+1≥0，讨论a，求定义域；
（2）令t=m+

1

m

≥2，则原命题可化为ax²-（a+1）x+1-t=0有两个不同的正根，从而解得．

解答： 解：（1）由题意，
f（x）=ax²-（a+1）x+1≥0，
即（ax-1）（x-1）≥0，
①当0＜a＜1时，函数y=

f(x)

的定义域为{x|x≥

1

a

或x≤1}，
②当a=1时，函数y=

f(x)

的定义域为R，
③当a＞1时，函数y=

f(x)

的定义域为{x|x≥1或x≤

1

a

}；
（2）令t=m+

1

m

≥2，
则关于x的方程f（|x|）=t有四个不同的实根可化为
a|x|²-（a+1）|x|+1-t=0有四个不同的实根，
即ax²-（a+1）x+1-t=0有两个不同的正根，
则

△=(a+1)2-4a(1-t)＞0 a+1 a ＞0 1-t a ＞0

，
解得a＜-1．

点评：本题考查了定义域的求法即二次不等式的解法，同时考查了二次方程的根的位置判断，属于中档题．