Question

已知函数f（x）=2^2x+1-m•2^x+m．（m∈R）
（1）若函数f（x）在区间[0，2]有两个零点，求m的范围；
（2）若函数f（x）在区间[1，+∞）的最小值为1，求m的值．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）问题转化为方程2t²-mt+m=0在区间[1，4]有2个不等实根，列出不等式组，解出即可；
（2）通过讨论m的范围，从而综合得到结论．

解答： 解：令t=2^x，则2x+1=2t²，
∴g（t）=2t²-mt+m，
（1）当0≤x≤2时，1≤t≤4，
∴方程2t²-mt+m=0在区间[1，4]有2个不等实根，
∴

△=m2-8m＞0 1≤ m 4 ≤4 g(1)=2≥0 g(4)=32-3m≥0

，解得：8＜m≤

32

3

；
（2）当m≥1时，t≥2，g（t）=2(t-

m

4

)2+m-

m2

8

，
当

m

4

≤2时，即m≤8时，g（t）_min=g（2）=8-m=1，∴m=7，适合，
当

m

4

＞2时，即m＞8时，g（t）_min=m-

m2

8

=1，∴m=4±2

2，

舍去，
综上，m=7．

点评：本题考查了函数的零点问题，考查了转化思想，分类讨论思想，是一道中档题．