Question

若曲线y=

x

在点P（a，

a

）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,直线的截距式方程

专题：导数的概念及应用,直线与圆

分析：求导数可得切线的斜率，进而可得切线的方程，可得其截距，由面积为2可得a的方程，解方程可得．

解答： 解：对y=

x

求导数可得y′=

1

2 x

，
∴曲线在P（a，

a

）处的切线斜率为k=

1

2 a

，
∴切线方程为：y-

a

=

1

2 a

（x-a），
令x=0，可得y=

a

2

，即直线的纵截距为

a

2

，
令y=0，可得x=-a，即直线的横截距为-a，
∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积为：
S=

1

2

|

a

2

||-a|=2，解得a=4
故答案为：4

点评：本题考查直线的截距，涉及导数法求曲线上某点的切线，属基础题．