Question

设函数f（x）的定义域为R，f（x）=

x  ， 0≤x≤1 ( 1 3 )x-1 ，-1＜x＜0

，且对任意的x∈R都有f（x+1）=f（x-1），若在区间[-1，5]上函数g（x）=f（x）-mx-m，恰有6个不同零点，则实数m的取值范围是（　　）

• A、（

  1

  4

  ，

  1

  6

  ]
• B、（

  1

  3

  ，

  1

  4

  ]
• C、（0，

  1

  5

  ]
• D、（0，

  1

  6

  ]

Answer 1

考点：分段函数的应用,函数零点的判定定理

专题：数形结合,函数的性质及应用

分析：先确定2是f（x）的周期，作出函数的图象，利用在区间[-1，5]上函数g（x）=f（x）-mx-m恰有6个不同零点，即可求实数m的取值范围．

解答： 解：∵对任意的x∈R都有f（x+1）=f（x-1），
∴f（x+2）=f（x），即函数f（x）的最小正周期为2，
画出y=f（x）（-1≤x≤5）的图象和直线y=mx+m，
由x=5时，f（5）=1，可得1=5m+m，则m=

1

6

，
∴在区间[-1，5]上函数g（x）=f（x）-mx-m恰有6个不同零点时，实数m的取值范围是（0，

1

6

]
故选D．

点评：本题考查函数的零点，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．