Question

在如图所示的组合体中，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面ABB₁A₁是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A、B重合的一个点．
（Ⅰ）若圆柱的轴截面是正方形，当点C是弧AB的中点时，求异面直线A₁C与AB₁的所成角的大小；
（Ⅱ）当点C是弧AB的中点时，求四棱锥A₁-BCC₁B₁与圆柱的体积比．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,旋转体（圆柱、圆锥、圆台）,异面直线及其所成的角

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）取BC的中点D，连接OD，AD，则OD∥A₁C，∠AOD（或其补角）为异面直线A₁C与AB₁的所成角，利用余弦定理，可求异面直线A₁C与AB₁的所成角的大小；
（II）设圆柱的底面半径为r，母线长度为h，当点C是弧弧AB的中点时，求出三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积，求出三棱锥A₁-ABC的体积为，从而求出四棱锥A₁-BCC₁B₁的体积，再求出圆柱的体积，即可求出四棱锥A₁-BCC₁B₁与圆柱的体积比．

解答： 解：（Ⅰ）如图，取BC的中点D，连接OD，AD，则OD∥A₁C，
∴∠AOD（或其补角）为异面直线A₁C与AB₁的所成角，
设正方形的边长为2，则△AOD中，OD=

1

2

A₁C=

6

2

，AO=

2

，AD=

10

2

，
∴cos∠AOD=

2+ 3 2 - 5 2

2× 2 × 6 2

=

3

6

∴∠AOD=arccos

3

6

；
（Ⅱ）设圆柱的底面半径为r，母线长度为h，
当点C是弧AB的中点时，AC=BC=

2

r，
VA1-BCC1B1=

1

3

•(

2

r)•(

2

r)•h=

2

3

r2h，V圆柱=πr2h，
∴VA1-BCC1B1：V圆柱=2：3π．

点评：本小题主要考查直线与直线的位置关系，以及几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．