Question

2．设数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}的前n项和S_n满足S_n=2（b_n-1），且a₂=b₁-1，a₅=b₃-1．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过S_n=2（b_n-1）与S_n-1=2（b_n-1-1）（n≥2）作差可知b_n=2b_n-1（n≥2），进而验证b₁=2满足上式可得${b_n}={2^n}$（n∈N*）．利用$d=\frac{{{a_5}-{a_2}}}{5-2}=2$，结合等差数列的通项公式可得a_n=2n-3（n∈N*）；
（Ⅱ）通过（1）知${c_n}=（2n-3）•{2^n}$，进而利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n=2（b_n-1），①
∴当n≥2时，S_n-1=2（b_n-1-1），②
由①-②得：b_n=2（b_n-b_n-1）（n≥2），即b_n=2b_n-1（n≥2），
又n=1时，S₁=2（b₁-1），得b₁=2，
∴${b_n}={2^n}$（n∈N*）．
设数列{a_n}的公差为d，则$d=\frac{{{a_5}-{a_2}}}{5-2}=2$，
所以a_n=2n-3（n∈N*）…（6分）
（Ⅱ）由（1）知${c_n}=（2n-3）•{2^n}$，设数列{c_n}的前n项和为T_n，
则${T_n}=-1×2+1×{2^2}+3×{2^3}+…+（2n-3）×{2^n}$，
$2{T_n}=-1×{2^2}+1×{2^3}+3×{2^4}+…+（2n-5）×{2^n}+（2n-3）×{2^{n+1}}$，
两式作差得$-{T_n}=-1×2+2×{2^2}+2×{2^3}+…+2×{2^n}-（2n-3）×{2^{n+1}}$
=$-2-\frac{{8（1-{2^{n+1}}）}}{1-2}-（2n-3）×{2^{n+1}}$
=-10-（2n-5）×2ⁿ⁺¹，
∴${T_n}=（2n-5）•{2^{n+1}}+10$（n∈N*）…（12分）

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查阶差法、错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．