Question

18．已知函数$f（x）=sin（{ωx+φ}）（{ω＞0，0＜φ＜\frac{π}{2}}），f（0）=-f（{\frac{π}{2}}）$，若将f（x）的图象向左平移$\frac{π}{12}$个单位后所得函数的图象关于原点对称，则φ=（　　）

• A． $\frac{π}{12}$
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{3}$

Answer 1

分析 由题意求得ω=4k+2，k∈Z，根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得$\frac{ωπ}{12}$+φ=mπ，m∈Z，结合φ的范围，可得φ的值．

解答 解：∵函数$f（x）=sin（{ωx+φ}）（{ω＞0，0＜φ＜\frac{π}{2}}），f（0）=-f（{\frac{π}{2}}）$，
∴sinφ=-sin（ω•$\frac{π}{2}$+φ），∴ω•$\frac{π}{2}$=2kπ+π或者φ+ω•$\frac{π}{2}$=2kπ-φ．
①如果：ω•$\frac{π}{2}$=2kπ+π，将f（x）=sin（ωx+φ）的图象向左平移$\frac{π}{12}$个单位后所得函数的解析式为y=sin（ωx+$\frac{ωπ}{12}$+φ）的图象关于原点对称，
∴$\frac{ωπ}{12}$+φ=mπ，m∈Z，∵φ∈（0，$\frac{π}{2}$）∴k=2，ω=10，此时，φ=$\frac{π}{6}$，
②如果：φ+ω•$\frac{π}{2}$=2kπ-φ，又f（x）的图象向左平移$\frac{π}{12}$个单位后所得函数的图象关于原点对称，
有：φ+ω•$\frac{π}{12}$=kπ，
即有：φ=k₁π-$\frac{π}{4}$且φ=k₂π-$\frac{π}{12}$，其中k₁、k₂∈Z，
不存在这样的k₁、k₂满足题意，舍去．
故选：B．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，诱导公式，属于中档题．