Question

12．已知f（x）=|x-2|+|x+2|．
（1）求不等式f（x）≥6的解集；
（2）若不等式f（x）＜a+x的解集不为∅，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围求出不等式的解集即可；（2）由题知g（x）＜a的解集不为空集，即g（x）_min＜a成立，求出g（x）的最小值，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）原不等式等价于
①$\left\{\begin{array}{l}{x＜-2}\\{2-x-（x+2）=-2x≥6}\end{array}\right.$，解得：x≤-3，
②$\left\{\begin{array}{l}{-2≤x≤2}\\{2-x+x+2=4≥6}\end{array}\right.$?，解得：x=∅，
?③$\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{x-2+x+2=2x≥6}\end{array}\right.$，解得：x≥3，
∴原不等式的解集为（-∞，-3]∪[3，+∞）；
（2）令g（x）=f（x）-x，则由题知g（x）＜a的解集不为空集，
即g（x）_min＜a成立，
又g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-3x，x＜-2}\\{4-x，-2≤x≤2}\\{x，x＞2}\end{array}\right.$，
故g（x）的最小值是2，即a＞2，
∴a的取值范围为：（2，+∞）．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数的最值问题，是一道中档题．