Question

11．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosφ}\\{y=bsinφ}\end{array}\right.$（φ为参数，0＜b＜5）
以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$c（c为曲线C的半焦距）
（Ⅰ）求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程
（Ⅱ）点M为曲线C上任意一点，若点M到直线l的距离的最大值为4$\sqrt{2}$，求b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）消去参数求曲线C的普通方程，利用极坐标方程与直角坐标方程的互化方法，可得直线l的直角坐标方程
（Ⅱ）点M为曲线C上任意一点，若点M到直线l的距离的最大值为4$\sqrt{2}$，利用参数，求得点M到直线l的距离，即可求b的值．

解答 解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosφ}\\{y=bsinφ}\end{array}\right.$（φ为参数，0＜b＜5），普通方程为$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（0＜b＜5），
直线l的极坐标方程为ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$c，直线l的直角坐标方程y=x+c；
（Ⅱ）设M（5cosφ，bsinφ），
点M到直线l的距离d=$\frac{|5cosφ-bsinφ+c|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{25+{b}^{2}}sin（φ+θ）+c|}{\sqrt{2}}$，
∴$\frac{|\sqrt{50-{c}^{2}}+c|}{\sqrt{2}}$=4$\sqrt{2}$，∴c=1或7（舍去），
∴$b=2\sqrt{6}$．

点评 本题主要考查把极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式、辅助角公式的应用，属于中档题．