Question

给出下列命题：
①若函数f（x）=asinx+cosx的一个对称中心是（

π

6

，0），则a的值为-

3

；
②函数f（x）=cos（2x+

π

2

）在区间[0，

π

2

]上单调递减；
③已知函数f（x）=sin（2x+ϕ）（-π＜ϕ＜π），若-|f（

π

6

）|≤f（x）对任意x∈R恒成立，则ϕ=

π

6

或-

5π

6

；
④函数f（x）=|sin（2x-

π

3

）+1|的最小正周期为π．
其中正确结论的序号是

 

．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：将（

π

6

，0）代入可判断①；根据余弦函数的单调性，可判断②；根据正弦函数的最值，可判断③，根据正弦型函数的周期性，可判断④

解答： 解：将（

π

6

，0）代入f（x）=asinx+cosx得：

1

2

a+

3

2

=0，解得a=-

3

，故①正确；
由2x+

π

2

∈[2kπ，2kπ+π]，k∈Z得：x∈[kπ-

π

4

，kπ+

π

4

]，k∈Z，故函数f（x）=cos（2x+

π

2

）在区间[0，

π

4

]上单调递减，在[

π

4

，

π

2

]上递增，故②错误；
由已知可得f（

π

6

）为函数f（x）的最值，故2×

π

6

+ϕ=

π

2

+2kπ，k∈Z，又由-π＜ϕ＜π可得：ϕ=

π

6

或-

5π

6

，故③正确；
函数y=sin（2x-

π

3

）+1的最小正周期为π，函数f（x）=|sin（2x-

π

3

）+1|=sin（2x-

π

3

）+1，故④正确；
故答案为：①③④

点评：本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象和性质，熟练掌握函数y=Asin（ωx+φ）的图象和性质是解答的关键，难度中档．