Question

对于函数f（x），若f（x）图象上存在2个关于原点对称，则称f（x）为“局部中心对称函数”．
（Ⅰ）已知二次函数f（x）=ax²+2ax-4（a∈R，a≠0），试判断f（x）是否为“局部中心对称函数”？并说明理由．
（Ⅱ）若f（x）=4^x-m•2^x+1+m²-4为定义域R上的“局部中心对称函数”，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：

分析：首先要弄清两个点关于原点对称有什么含义，其特点是它们的横轴和纵轴上的两个点相加为0，在结遵照题干的新命题，按照要求去做即可．

解答： 解：（1）当f（x）=ax²+2ax-4时，若图象上存在2个点关于原点对称，
则方程f（-x）+f（x）=0，即ax²-4=0
当a＞0时，方程有实数根，a＜0时，方程无实数根
∴a＞0时，f（x）时“局部中心对称函数”，
  a＜0时，f（x）不是“局部中心对称函数”
（2）当f（x）=4^x-m•2^x+1+m²-4时，f（-x）+f（x）=0可化为
   4^x+4^-x-2m（2^x+2^-x）+2m²-8=0
 令t=2^x+2^-x，则t∈[2，+∞），4^x+4^-x=t²-2，
即 t²-2mt+2m²-10=0在[2，+∞）有解，
即可保证f（x）为“局部中心对称函数”
令g（t）=t²-2mt+2m²-10
  ①当g（2）≤0时，t²-2mt+2m²-10=0在[2，+∞）有解，
由g（2）≤0，即2m²-4m-6≤0，解得-1≤m≤3；
  ②当g（2）＞0时，t²-2mt+2m²-10=0在[2，+∞）有解等价于
       

△=4m2-4(2m2-10)≥0 g(2)＞0，m＞2

     解得3＜m≤

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综上，所求实数m的取值范围为-1＜m≤

10

点评：这是一种常见题型，把已知的知识和新的知识结合起来．这个题的关键是要明白关于原点对称的两个点它们的和的特点，然后把证明是否为某个命题转化为求函数是否有两个解上来，这也是一般思路，尽量把问题转化为自己熟悉的东西．