Question

已知F₁，F₂是椭圆的焦点，P为椭圆上一点，∠F₁PF₂=60°．
（1）求椭圆离心率的取值范围；
（2）求证：△F₁PF₂的面积只与椭圆的短轴长有关．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意，可设|PF₁|=m，|PF₂|=n． 在△PF₁F₂中，由余弦定理可知，4c²=m²+n²-2mncos60°．再由定义得出m+n=2a，然后进行恒等变形，将4c²=m²+n²-2mncos60°量m，n用a，c表示出来即可得出离心率的取值范围
（2）根据（1）中的结论，可算出△F₁PF₂的面积等于

3

3

b²，由此可得△F₁PF₂的面积仅与椭圆的短轴长有关．

解答： 解：设椭圆方程为 

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），|PF₁|=m，|PF₂|=n．
在△PF₁F₂中，由余弦定理可知，4c²=m²+n²-2mncos60°．
∵m+n=2a，∴m²+n²=（m+n）²-2mn=4a²-2mn，
∴4c²=4a²-3mn．即3mn=4a²-4c²．
又mn≤（

m+n

2

）²=a²（当且仅当m=n时取等号），
∴4a²-4c²≤3a²，∴

c2

a2

≥

1

4

，即e≥

1

2

．
∴e的取值范围是[

1

2

，1）．
（2）由（1），得mn=

4(a2-c2)

3

=

4

3

b2，
∴S△F1PF2=

1

2

mnsin60°=

3

3

b2，
面积表达式中的字母只含有b，可得：△F₁PF₂的面积只与椭圆的短轴长有关．

点评：本题给出椭圆上一点与椭圆两个焦点构成的三角形，求三角形的面积并讨论椭圆的离心率，着重考查了椭圆的定义与简单性质、基本不等式求最值和用正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．