Question

已知A（-2，4），B（2，8）是直线y=x+6上两点，若线段AB与椭圆

x2

a2

+

y2

a2-4

=1有公共点，则正数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：联立

y=x+6 x2 a2 + y2 a2-4 =1

，化为（2a²-4）x²+12a²x+40a²-a⁴=0，令△=0，及a²＞4，解得x=-

10

3

．由于-

10

3

＜-2＜2．可得：切点在线段AB之外．因此把A（-2，4），B（2，8）分别代入椭圆的标准方程即可得出．

解答： 解：联立

y=x+6 x2 a2 + y2 a2-4 =1

，化为（2a²-4）x²+12a²x+40a²-a⁴=0，（*）
令△=0，及a²＞4，解得a²=20．
方程（*）（3x+10）²=0，解得x=-

10

3

．
∵-

10

3

＜-2＜2．
∴切点在线段AB之外．
因此把A（-2，4）代入椭圆方程可得

4

a2

+

16

a2-4

=1，及a²＞4，解得a=2

2

+2．
把B（2，8）代入椭圆方程可得

4

a2

+

64

a2-4

=1，及a²＞4，解得a=2

5

+4．
由于线段AB与椭圆

x2

a2

+

y2

a2-4

=1有公共点，因此正数a的取值范围是[2

2

+2，4+2

5

]．
故答案为：[2

2

+2，4+2

5

]．

点评：本题考查了直线及其点与椭圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．