Question

在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，A=

π

3

，sinB=

3

3

．
（1）求cosB的值；
（2）若2c=b+2，求边长b．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：（1）由正弦定理可得A＜B?a＜b?2RsinA＜2RsinB?sinA＜sinB，由于

3

2

＞

3

3

，则sinA＞sinB，即有A＞B，则B为锐角，即可求cosB的值．
（2）利用正弦定理写出ab关系式，结合已知条件与余弦定理即可求出b的值．

解答： 解：（1）由∠A=

π

3

，得sinA=

3

2

，
由正弦定理可得，a=2RsinA，b=2RsinB，
则A＜B?a＜b?2RsinA＜2RsinB?sinA＜sinB，
由于

3

2

＞

3

3

，则sinA＞sinB，即有A＞B，
则B为锐角，
则cosB=

1-sin2B

=

6

3

．
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，∠A=60°，sinB=

3

3

，
由正弦定理可知

a

sinA

=

b

sinB

，可得

a

3 2

=

b

3 3

，解得a=

3

2

…①，
由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccos60°，…②
∵2c=b+2，可得c=

b

2

+1…③，
①③代入②可得：

9

4

b²=b²+（

b

2

+1）²-b（

b

2

+1），
化简整理得：b²=

2

3

，
解得b=

6

3

．

点评：本题主要考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查基本知识的应用以及计算能力，综合性较强，属于中档题．