Question

已知x，y满足约束条件

x-4y≤-3 3x+5y≤25 x≥1

，试求解下列问题．
（1）z=

x2+y2

的最大值和最小值；
（2）z=

y

x+2

的最大值和最小值；
（3）z=|3x+4y+3|的最大值和最小值．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式组对应的平面区域，
（1）z的几何意义为区域内点到原点的距离．
（2）z的几何意义为区域内的点与定点M（-2，0）的斜率．
（3）设m=3x+4y+3，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定m的取值范围即可得到结论．

解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
由

x-4y=-3 3x+5y=25

，解得

x=5 y=2

，即A（5，2），
由

x=1 3x+5y=25

，解得

x=1 y= 22 5

，即B（1，

22

5

）
由

x=1 x-4y=-3

，解得

x=1 y=1

，即C（1，1）
（1）z=

x2+y2

的几何意义为区域内点到原点的距离，
由图象可知OC的距离最小，OA的距离最大，
即最大值为z=

52+22

=

29

，最小值为z=

12+12

=

2

．
（2）z=

y

x+2

的几何意义为区域内的点与定点M（-2，0）的斜率，
由图象知MB的斜率最大，MA的斜率最小，
即z的最大值为z=

22 5

1+2

=

22

15

，最小值为z=

2

5+2

=

2

7

．
（3）设m=3x+4y+3得y=-

3

4

x+

m-3

4

，此时z=|m|，
平移直线y=-

3

4

x+

m-3

4

，
由图象可知当直线y=-

3

4

x+

m-3

4

经过点A时，直线y=-

3

4

x+

m-3

4

的截距最大，此时m最大．
当直线y=-

3

4

x+

m-3

4

经过点C时，直线y=-

3

4

x+

m-3

4

的截距最小，此时m最小．
代入目标函数m=3x+4y+3=3+4+3=10，
代入目标函数m=3x+4y+3=15+8+3=26，
即10≤m≤26，
则10≤|m|≤26，即10≤z≤26，
则z=|3x+4y+3|的最大值为26，最小值为10．

点评：本题主要考查线性规划的应用，综合考查目标函数的几何意义，利用距离，斜率和截距的几何意义是解决线性规划的基本方法．