Question

设直线

2

ax+by=1（其中a，b为实数）与圆x²+y²=1相交于A，B两点，△AOB是直角三角形（O为坐标原点），则点P（a，b）到点M（0，1）的距离的最大值为$（　　）

• A、

  2

  +1
• B、2
• C、2

  2

  +3
• D、

  2

  -1

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：综合题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据圆的方程找出圆心坐标和半径，由|OA|=|OB|根据题意可知△AOB是等腰直角三角形，根据勾股定理求出|AB|的长度，根据等腰直角三角形的性质可得圆心到直线的距离等于|AB|的一半，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离，两者相等即可得到a与b的轨迹方程为一个椭圆，由图形可知点P（a，b）到焦点（0，1）的距离的最大值．

解答： 解：由圆x²+y²=1，所以圆心（0，0），半径为1
所以|OA|=|OB|=1，则△AOB是等腰直角三角形，得到|AB|=

2

，
则圆心（0，0）到直线

2

ax+by=1的距离为

1

2a2+b2

=

2

2

，
∴2a²+b²=2，即a²+

b2

2

=1．
因此所求距离为椭圆a²+

b2

2

=1上点P（a，b）到焦点（0，1）的距离，
如图得到其最大值PF=

2

+1
故选A

点评：此题考查学生灵活点到直线的距离公式化简求值，综合运用所学的知识求动点形成的轨迹方程，是一道综合题．