Question

若函数f（x）=

x3

3

-

a

2

x²+x+1在区间（

1

3

，4）上有极值点，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（2，

  10

  3

  ）
• B、[2，

  10

  3

  ）
• C、（

  10

  3

  ，

  17

  4

  ）
• D、（2，

  17

  4

  ）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：求导f′（x）=x²-ax+1，从而先判断△=a²-4＞0；从而可得a＞2或a＜-2；从而讨论求实数a的取值范围．

解答： 解：∵f（x）=

x3

3

-

a

2

x²+x+1，
∴f′（x）=x²-ax+1，
x²-ax+1=0有两个解
则△=a²-4＞0；
故a＞2或a＜-2；
函数f（x）=

x3

3

-

a

2

x²+x+1在区间（

1

3

，4）上有极值点可化为x²-ax+1=0在区间（

1

3

，4）有解，
①当2＜a＜8时，f′（4）＞0，
即16-4a+1＞0，
故a＜

17

4

；
故2＜a＜

17

4

；
②当a≥8时，
f′（4）f′（

1

3

）＜0，
无解；
综上所述，2＜a＜

17

4

．
故选：D．

点评：本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，属于中档题．