Question

已知a₁=1，2a_n+1=（1+

1

n

）²a_n．
（1）求证{

an

n2

}是等比数列；
（2）b_n=a_n+1-

1

2

a_n，求{b_n}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由题意，变形为

an+1

(n+1)2

=

1

2

•

an

n2

，继而得到{

an

n2

}是以1为首项，以

1

2

为公比的等比数列；
（2）有（1）求得a_n=n²•

1

2n-1

，继而得到b_n=（2n+1）•

1

2n

，再根据错位相减法，求出b_n的前n项和．

解答： 解：（1）∵a₁=1，2a_n+1=（1+

1

n

）²a_n=

(n+1)2

n2

•a_n，
∴

an+1

(n+1)2

=

1

2

•

an

n2

，

a1

1

=1，
∴{

an

n2

}是以1为首项，以

1

2

为公比的等比数列，
∴

an

n2

=(

1

2

)n-1，
（2）由（1）得a_n=n²•

1

2n-1

，
∴b_n=a_n+1-

1

2

a_n=（n+1）²•

1

2n

ⁿ-

1

2

n²•

1

2n-1

=（2n+1）•

1

2n

，
设S_n=b₁+b₂+…+b_n=3×

1

2

+5×

1

22

+7×

1

23

+…+（2n+1）•

1

2n

，①
∴

1

2

S_n=3×

1

22

+5×

1

23

+7×

1

24

+…+（2n+1）•

1

2n+1

，②
由①-②，

1

2

S_n=3×

1

2

+2（

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

）-（2n+1）

1

2n+1

，
∴S_n=3+（1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-2

^3-n）-（2n+1）•

1

2n

=3+

1- 1 2n-1

1- 1 2

-（2n+1）•

1

2n

=5-（2n+5）•

1

2n

点评：本题主要考查了数列的求和，以及等比关系的确定，同时考查了计算能力，属于中档题．