Question

有下列说法：
①函数f（x）=

x

在其定义域内单调递增；
②若f（x）=

x+2

x+1

在区间（a，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是a＞-1；
③函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）没有零点；
④函数f（x）=

-x-1，x≤-1 0，-1＜x＜1是偶函数 x-1，x≥1

；
其中所有正确说法的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：化根式为分数指数幂后由幂函数的单调性判断①；求出函数f（x）=

x+2

x+1

的减区间，结合f（x）=

x+2

x+1

在区间（a，+∞）上是减函数求得a的范围判断②；
直接求出函数的零点判断③；画出函数的图象判断④．

解答： 解：①函数f（x）=

x

=x

1

2

，在其定义域内单调递增，命题①正确；
②由f（x）=

x+2

x+1

，得f′(x)=

x+1-x-2

(x+1)2

=-

1

(x+1)2

＜0（x≠-1），
∴f（x）=

x+2

x+1

的减区间为（-∞，-1），（-1，+∞），
若在区间（a，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是a＞-1，命题②正确；
③函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）没有零点错误，函数的零点是0；
④函数f（x）=

-x-1，x≤-1 0，-1＜x＜1 x-1，x≥1

 的图象如图，

图象关于y轴对称，函数为偶函数，命题④正确．
故答案为：①②④．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了函数单调性的性质，是中档题．