Question

11．如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是棱CC₁与DD₁的中点
（1）证明：直线C₁F∥平面BDE；
（2）求二面角A-BD-E的正切值．

Answer 1

分析 （1）推导出DF$\underset{∥}{=}$EC₁，从而四边形DFC₁是平行四边形，进而C₁F∥DE，由此能证明C₁F∥平面BDE．
（2）连结AC、BD，交于点O，连结OE，则∠EOC是二面角A-BD-E的平面角的补角，由此能求出二面角A-BD-E的正切值．

解答 证明：（1）∵在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
E，F分别是棱CC₁与DD₁的中点，
∴DF$\underset{∥}{=}$EC₁，∴四边形DFC₁是平行四边形，
∴C₁F∥DE，
∵C₁F?平面BDE，DE?平面BDE，
∴C₁F∥平面BDE．
解：（2）连结AC、BD，交于点O，连结OE，
∵ABCD是正方形，∴CO⊥BD，
∵在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱CC₁的中点，
∴CO=$\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}a}{2}$，CE=$\frac{a}{2}$，BE=DE，
∴EO⊥BD，
∴∠EOC是二面角A-BD-E的平面角的补角，
∵tan∠EOC=$\frac{EC}{OC}$=$\frac{\frac{a}{2}}{\frac{\sqrt{2}a}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴二面角A-BD-E的正切值为-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．