Question

12．曲线f（x）=ax²（a＞0）与g（x）=lnx有两条公切线，则a的取值范围为（　　）

• A． （0，$\frac{1}{e}}$）
• B． （0，$\frac{1}{2e}}$）
• C． （$\frac{1}{e}$，+∞）
• D． （${\frac{1}{2e}$，+∞）

Answer 1

分析 分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，由已知的两条切线得到方程有两个解，借助于函数的极值和最值，即可得到a的范围．

解答 解：y=ax²的导数y′=2ax，y=lnx的导数为y′=$\frac{1}{x}$，
设与y=ax²相切的切点为（s，t），与曲线g（x）=lnx相切的切点为（m，n）m＞0，则有公共切线斜率为2as=$\frac{1}{m}$=$\frac{t-n}{s-m}$，
又t=as²，n=lnm，
即有2as=$\frac{1}{m}=\frac{a{s}^{2}-lnm}{s-m}$，整理得as²-ln（2as）-1=0
设f（s）=as²-ln（2as）-1，所以f'（s）=2as-$\frac{2a}{2as}$=$\frac{2a{s}^{2}-1}{s}$，因为a＞0，s＞0，
所以由f'（s）＞0得到
当s＞$\frac{1}{\sqrt{2a}}$时，f′（s）＞0，f（s）单调递增，
当0＜s＜$\frac{1}{\sqrt{2a}}$时，f′（s）＜0，f（s）单调递减．
即有s=$\frac{1}{\sqrt{2a}}$处f（s）取得极小值，也为最小值，且为f（$\frac{1}{\sqrt{2a}}$）=$-ln\sqrt{2a}-\frac{1}{2}$，
由恰好存在两条公切线，即f（s）=0有两解，由f（0）→+∞，s→∞，f（s）→+∞，
所以只要f（$\frac{1}{\sqrt{2a}}$）＜0可得a的范围是a＞$\frac{1}{2e}$．
故选D．

点评 本题考查导数的几何意义，主要考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于中档题