Question

10．已知函数f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x），a＞0且a≠1．
（1）判断f（x）的奇偶性并予以证明；
（2）当a＞1时，求使f（x）＞0的x的解集．

Answer 1

分析 （1）先求出函数f（x）的定义域为（-1，1），对任意x∈（-1，1），求出f（-x）=-f（x），由此得到函数f（x）是奇函数．
（2）由a＞1，f（x）＞0，得log_a（x+1）＞log_a（1-x），由此利用对数函数性质能求出不等式f（x）＞0的解集．

解答 解：（1）由题知$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$，解得：-1＜x＜1，
∴函数f（x）的定义域为（-1，1），f（x）是奇函数．
证明：∵函数f（x）的定义域为（-1，1），所以对任意x∈（-1，1），
f（-x）=log_a（-x+1）-log_a（1-（-x））=-[log_a（x+1）-log_a（1-x）]=-f（x），
所以函数f（x）是奇函数．
（2）∵a＞1，f（x）＞0，∴log_a（x+1）＞log_a（1-x），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{1-x＞0}\\{x+1＞1-x}\end{array}\right.$，解得0＜x＜1，
所以不等式f（x）＞0的解集为{x|0＜x＜1}．

点评 本题考查函数的奇偶性的判断与证明，考查不等式的解法，是中档题，解题时要认真审题，注意对数函数性质的合理运用．