已知$|{\overrightarrow{OA}}|=2$.$|{\overrightarrow{OB}}|=2$.且向量$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角为120°.又$|{\overrightarrow{PO}}|=\sqrt{3}$.则$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}$的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

14．已知$|{\overrightarrow{OA}}|=2$，$|{\overrightarrow{OB}}|=2$，且向量$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角为120°，又$|{\overrightarrow{PO}}|=\sqrt{3}$，则$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}$的取值范围是$[{1-2\sqrt{3}，1+2\sqrt{3}}]$．

分析利用平面向量的运算，将$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}$写成（$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}$）•（$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OB}$）=${\overrightarrow{OP}}^{2}+\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP}•（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$=1-$\overrightarrow{OP}•（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$，利用其几何意义求最值．

解答解：由已知得到$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}$=（$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}$）•（$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OB}$）=${\overrightarrow{OP}}^{2}+\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP}•（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$=1-$\overrightarrow{OP}•（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$，
因为$|{\overrightarrow{OA}}|=2$，$|{\overrightarrow{OB}}|=2$，且向量$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角为120°，所以$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$表示以$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$为邻边的菱形的对角线对应的向量$\overrightarrow{OC}$，
如图
所以$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OC}$的最大值为$|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{OC}|cos0=2\sqrt{3}$．最小值为|$|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{OC}|cosπ=-2\sqrt{3}$，
所以$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}$的取值范围是[1-2$\sqrt{3}$，1+2$\sqrt{3}$]；
故答案为：[1-2$\sqrt{3}$，1+2$\sqrt{3}$]．

点评本题考查了平面向量的运算，关键是将所求变形，利用其几何意义求最值．

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