Question

2．已知y²=4x抛物线，焦点记为F，过点F作直线l交抛物线于A，B两点，则$|{AF}|-\frac{2}{{|{BF}|}}$的最小值为（　　）

• A． $2\sqrt{2}-2$
• B． $\frac{5}{6}$
• C． $3-\frac{3}{2}\sqrt{2}$
• D． $2\sqrt{3}-2$

Answer 1

分析 设直线AB的方程，代入抛物线方程，根据韦达定理及抛物线的焦半径公式，求得$|{AF}|-\frac{2}{{|{BF}|}}$=$\frac{{x}_{1}^{2}+1}{{x}_{1}+1}$，x₁＞0，根据函数的单调性，即可求得答案．

解答 解：由题意知，抛物线y²=4x的焦点坐标为（1，0），
当斜率k存在时，设直线AB的方程为y=k（x-1），设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，整理得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
则 x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，则x₂=$\frac{1}{{x}_{1}}$，
根据抛物线性质可知，|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1，
$|{AF}|-\frac{2}{{|{BF}|}}$=（x₁+1）-$\frac{2}{{x}_{2}+1}$=（x₁+1）-$\frac{2{x}_{1}}{{x}_{1}+1}$=$\frac{{x}_{1}^{2}+1}{{x}_{1}+1}$，x₁＞0，
设f（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{x+1}$，x＞0，求导f′（x）=$\frac{{x}^{2}+2x-1}{（x+1）^{2}}$，令f′（x）=0，则x²+2x-1=0，解得：x=$\sqrt{2}$-1，
当x∈（0，$\sqrt{2}$-1），f′（x）＜0，当x∈（$\sqrt{2}$-1，+∞），f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，$\sqrt{2}$-1）单调递减，在（$\sqrt{2}$-1，+∞）单调递增，
∴当x=$\sqrt{2}$-1，f（x）取最小值，最小值为2$\sqrt{2}$-2，
∴$|{AF}|-\frac{2}{{|{BF}|}}$最小值为2$\sqrt{2}$-2，
故选：A．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，考查函数单调性与圆锥曲线的应用，考查计算能力，属于中档题．