Question

12．已知函数f（x）是定义域在（-∞，0）∪（0，+∞）上的不恒为零的函数，且对于任意非零实数a，b满足f（ab）=f（a）+f（b）．
（1）求f（1）与f（-1）的值；
（2）判断并证明y=f（x）的奇偶性；
（3）若函数f（x）满足对任意的x₁，x₂∈（-∞，0），（x₁≠x₂），有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0，求不等式f（2x-1）＜0的解集．

Answer 1

分析 （1）令a=b=1计算f（1），令a=b=-1计算f（-1）；
（2）令a=x，b=-1得出f（-x）=f（x），故f（x）为偶函数；
（3）f（x）在（-∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数，且f（-1）=f（1）=0，故不等式等价于-1＜2x-1＜1且2x-1≠0．

解答 解：（1）令a=b=1得f（1）=2f（1），∴f（1）=0，
∴a=b=-1得f（1）=2f（-1）=0，∴f（-1）=0．
（2）令a=x，b=-1得f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x），
∴f（x）是偶函数．
（3）∵对任意的x₁，x₂∈（-∞，0）（x₁≠x₂），有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0，
∴f（x）在（-∞，0）上是减函数，又f（x）是偶函数，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∵f（1）=f（-1）=0，f（2x-1）＜0，
∴-1＜2x-1＜1且2x-1≠0，
解得0＜x＜1，且x≠$\frac{1}{2}$．
∴不等式f（2x-1）＜0的解集为{x|0＜x＜1且x$≠\frac{1}{2}$}．

点评 本题考查了函数奇偶性，单调性的应用，属于中档题．