Question

8．设直线系A：（x-1）cos θ+（y-1）sin θ=1（0≤θ＜2π），对于下列五个命题：
①存在定点P不在A中的任一直线上；
②A中所有直线均经过一个定点；
③对于任意的正整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在A中的直线上；
④A中的直线所能围成的正三角形的面积都相等；
⑤A中的直线所能围成的正方形的面积都相等．
其中所有真命题的序号是（　　）

• A． ①②④
• B． ②③⑤
• C． ①③⑤
• D． ②④⑤

Answer 1

分析 令$\left\{\begin{array}{l}{x-1=cosθ}\\{y-1=sinθ}\end{array}\right.$，则（x-1）²+（y-1）²=1，故直线系A：（x-1）cosθ+（y-1）sinθ=1表示以（1，1）点为圆心，以1为半径的圆C的所有切线的集合；进而逐一分析五个结论的真假，可得答案．

解答 解：令$\left\{\begin{array}{l}{x-1=cosθ}\\{y-1=sinθ}\end{array}\right.$，则（x-1）²+（y-1）²=1，
对于①故直线系A：（x-1）cosθ+（y-1）sinθ=1表示以（1，1）点为圆心，以1为半径的圆C的所有切线的集合；
故当P点在圆C内时，P点不在A中的任一条直线上，故①正确；
对于②A中所有直线不经过任一个定点，故②错误；
对于③对于任意正整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在A中的直线上，此时圆C为正n边形的内切圆，故③正确；
对于④A中的直线所能围成的正三角形面积有6和$\frac{2}{3}$两种情况，故④错误；
对于⑤A中的直线所能围成的正方形面积均为4，故⑤正确．
∴所有真命题的序号是：①③⑤．
故选：C．

点评 本题考查了命题的真假判断与应用，考查了直线与圆的位置关系，其中分析出直线系A表示以（1，1）点为圆心，以1为半径的圆C的所有切线的集合是解答的关键，是中档题．