Question

16．数列{a_n}满足a₁=1，且对于任意的n∈N^*都有a_n+1=a_n+a₁+n，则$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{{{a_{2017}}}}$等于（　　）

• A． $\frac{2016}{2017}$
• B． $\frac{4032}{2017}$
• C． $\frac{2017}{2018}$
• D． $\frac{4034}{2018}$

Answer 1

分析 数列{a_n}满足a₁=1，且对于任意的n∈N^*都有a_n+1=a_n+a₁+n，可得a_n+1-a_n=1+n，利用a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1），可得a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．再利用裂项求和方法即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=1，且对于任意的n∈N^*都有a_n+1=a_n+a₁+n，
∴a_n+1-a_n=1+n，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+2+3+…+n
=$\frac{n（n+1）}{2}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{{{a_{2017}}}}$=2$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{2017}-\frac{1}{2018}）]$
=2×$（1-\frac{1}{2018}）$
=$\frac{2017}{1009}$=$\frac{4034}{2018}$．
故选：D．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、累加求和方法、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．