Question

17．记不等式组$\left\{\begin{array}{l}4x+3y≥10\\ x≤3\\ y≤4\end{array}\right.$表示的平面区域为D，过区域D中任意一点P作圆x²+y²=1的两条切线，切点分别为A，B，则cos∠PAB的最大值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用直线和圆相切的性质转化为OP最小，然后利用点到直线的距离公式进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
若cos∠PAB最大，则只需要∠PAB最小，即∠APO最大即可，
则sin∠APO=$\frac{OA}{OP}$=$\frac{1}{OP}$最大，此时OP最小即可，
此时OP的最小值为O到直线4x+3y-10=0的距离，
此时OP=$\frac{|10|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{10}{5}$=2，
∵OA=1，∴∠APO=$\frac{π}{6}$，∠PAB=$\frac{π}{3}$，
则cos∠PAB=$\frac{1}{2}$，
故选：A

点评 本题主要考查线性规划的综合应用，根据条件结合三角函数的性质转化为OP最小以及利用点到直线的距离公式是解决本题的关键．综合性较强．