Question

1．已知函数f（x）=|2x+1|-|x|+a，
（1）若a=-1，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若方程f（x）=2x有三个不同的解，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出取并集即可；
（2）求出a=2x+|x|-|2x+1|，令g（x）=2x+|x|-|2x+1|，结合函数的图象求出a的范围即可．

解答 解：（1）当a=-1时，不等式f（x）≥0可化为：|2x+1|-|x|-1≥0，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{x＜-\frac{1}{2}}\\{-（2x+1）-（-x）-1≥0}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}≤x＜0}\\{（2x+1）-（-x）-1≥0}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{x≥0}\\{（2x+1）-x-1≥0}\end{array}}\right.$，…（3分）
解得：x≤-2或x≥0，…（4分）
∴不等式的解集为（-∞，-2]∪[0，+∞）．               …（5分）
（2）由f（x）=2x得：a=2x+|x|-|2x+1|，
令g（x）=2x+|x|-|2x+1|，则：$g（x）=\left\{{\begin{array}{l}{3x+{1_{\;}}（x＜-\frac{1}{2}）}\\{-x-{1_{\;}}（-\frac{1}{2}≤x＜0）}\\{x-{1_{\;}}（x≥0）}\end{array}}\right.$，…（7分）
作出函数y=g（x）的图象如图示，
易知$A{（-{\frac{1}{2}_{\;}}，-\frac{1}{2}）_{\;}}，B（{0_{\;}}，-1）$，

结合图象知：当$-1＜a＜-\frac{1}{2}$时，函数y=a与y=g（x）的图象有三个不同交点，
即方程f（x）=2x有三个不同的解，…（9分）
∴a的取值范围为$（-{1_{\;}}，-\frac{1}{2}）$．             …（10分）

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数图象的交点问题，是一道中档题．