Question

定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：对任意x∈（0，+∞）恒有2f（x+2）=f（x）成立；当x∈（0，2]时，f（x）=-|1-x|+1．给出以下命题：
①f（5）=

1

4

；
②当x∈（2，4]时，f（x）∈[0，

1

2

]；
③令g（x）-f（x）=k（x-1），若函数g（x）恰有三个零点，则实数k的取值范围是(

1

16

，

1

4

)；
④?x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞（

2

2

） x0-1成立．
其中所有真命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用,简易逻辑

分析：①注意到2f（x+2）=f（x），f（5）=

1

2

f（3）=

1

4

f（1）=

1

4

，
②注意到2f（x+2）=f（x），f（x）=

1

2

f（x-2）=-

1

2

|3-x|+

1

2

，从而求范围，
③作出函数的图象，函数g（x）恰有三个零点可化为函数f（x）与直线y=-k（x-1）有三个不同的交点，从而求解，
④作出函数的图象，由图象可得．

解答： 解：∵2f（x+2）=f（x），∴f（x）=

1

2

f（x-2），
∴f（5）=

1

2

f（3）=

1

4

f（1）=

1

4

，故①正确；
∵x∈（2，4]，∴x-2∈（0，2]；
∴f（x）=

1

2

f（x-2）=-

1

2

|3-x|+

1

2

，
∵0≤|3-x|≤1，∴f（x）∈[0，

1

2

]，故②正确；
函数g（x）恰有三个零点可化为
函数f（x）与直线y=-k（x-1）有三个不同的交点，
故

0.25

4

＜-k＜

0.5

2

，
故-

1

4

＜k＜-

1

16

，故③不正确；
由y=（

2

2

）^x-1=2

1-x

2

，
作图如下，

f（x）的图象始终在y=2

1-x

2

图象的下方，
故④不成立．
故答案为：①②．

点评：本题考查了函数的性质与函数的图象的作法，同时考查了命题真假性的判断，属于难题．