Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，且对于任意n∈N，有a_n+a_n+1+（-1）ⁿ⁺¹a_n•a_n+1=0．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：k∈N时，

1

2

≤a₁+a₂+…+a_2k^＜1．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）通过a_n+a_n+1+（-1）ⁿ⁺¹a_n•a_n+1=0，移项后两边同除（-1）ⁿ⁺¹a_n•a_n+1，构造新数列，然后求数列{a_n}的通项公式．
（2）利用裂项法以及放缩法即可证明不等式．

解答： 解：（1）∵a₁=1，且对于任意n∈N，a_n+a_n+1+（-1）ⁿ⁺¹a_n•a_n+1=0．
∴a_n≠0，
则a_n+a_n+1=-（-1）ⁿ⁺¹a_n•a_n+1，
等式两边同时除以（-1）ⁿ⁺¹a_n•a_n+1，
得

1

(-1)n+1an+1

-

1

(-1)nan

=-1，
即{

1

(-1)nan

}是以

1

-a1

=-1为首项．-1为公差的等差数列．
则

1

(-1)nan

=-1-（n-1）=-n，
即a_n=

(-1)n+1

n

．
（2）∵k∈N^* 时，1-

1

2

＞0，

1

3

-

1

4

＞0，…

1

2k-1

-

1

2k

＞0，

1

2k

-

1

2k+1

＞0，
∴

1

2

≤1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+(

1

2k-1

-

1

2k

)＜1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+(

1

2k-1

-

1

2k

)+

1

2k+1

=1-（

1

2

-

1

3

）-(

1

4

-

1

5

)-…-（

1

2k

-

1

2k+1

）＜1，
即

1

2

≤a₁+a₂+…+a_2k＜a₁+a₂+…+a_2k+1＜1
故当n＞1时，

1

2

≤a₁+a₂+…+a_n＜1成立．

点评：本题主要考查数列通项公式的求解，利用构造法结合等差数列的通项公式是解决本题的关键．，不等式的证明使用裂项法以及放缩法，难度较大．