Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是AD，AA₁的中点
（1）求直线AB₁和直线CC₁所成的角的大小
（2）求直线AB₁和直线EF所成的角的大小．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：通过建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可得出异面直线所成的夹角．

解答： 解：如图所示，建立空间直角坐标系．
（1）不妨设正方形的棱长为2．则A（2，0，0），B₁（2，2，2），C（0，2，0），C₁（0，2，2）．
则

AB1

=（0，2，2），

CC1

=（0，0，2）．
∴cos＜

AB1

，

CC1

＞=

AB1 • CC1

| AB1 | | CC1 |

=

4

8 •2

=

2

2

，
∴直线AB₁和直线CC₁所成的角的大小为45°．
（2）E（1，0，0），F（2，0，1）．
∴

EF

=（1，0，1）．
∴cos＜

AB1

，

EF

＞=

AB1 • EF

| AB1 | | EF |

=

2

8 • 2

=

1

2

．
∴直线AB₁和直线EF所成的角的大小为60°．

点评：本题考查了利用向量的夹角公式得出异面直线所成的夹角，考查了间想象能力，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．