Question

已知集合A={x|（x-1）（ax²+2x+1）=0，a∈R，x∈R}．
（1）若card（A）=1，求a的取值范围？
（2）若card（A）=2，求a的取值范围？
（3）若card（A）=3，求a的取值范围？

Answer 1

考点：集合的表示法

专题：计算题,集合

分析：（1）方程ax²+2x+1=0无解，或有根1；
（2）card（A）=2，也就意味着方程ax²+2x+1=0只有一个解且不是1；a=0时，方程为一元一次方程，只有一个解，符合条件；a≠0时，方程为一元二次方程，若方程只有一个解，需判别式△=4-4a=0，所以解出a即可，这样a的值就都求出来了．
（3）card（A）=3，即方程ax²+2x+1=0有两个实数根且不是1，即可得出结论．

解答： 解：（1）∵集合A={x|（x-1）（ax²+2x+1）=0，a∈R，x∈R}，card（A）=1，
∴方程ax²+2x+1=0无解，或有根1，
∴a＞1；
（2）card（A）=2，也就意味着方程ax²+2x+1=0只有一个解且不是1；
①当a=0时，方程化为2x+1=0，只有一个解x=-

1

2

；
②当a≠0时，若ax²+2x+1=0只有一个解，只需△=4-4a=0，即a=1；
综上所述，可知a的值为a=0或a=1．
（3）card（A）=3，即方程ax²+2x+1=0有两个实数根且不是1．
∴a≠0，且△＞0
即a＞-1且a≠0．

点评：考查描述法表示集合，一元二次方程的解的求解，属于中档题．