Question

已知定义在R上的函数f（x）是奇函数且满足f（

3

2

-x）=f（x），f（-2）=-3，数列{a_n}满足a₁=-1，a_n=a_n-1-1（n∈N₊，且n≥2），则f（a₅）+f（a₆）=

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：本题可以通过函数的奇偶性求出函数值f（0），再结合条件f（

3

2

-x）=f（x），推导出函数的周期为3，然后利用等差数列的通项公式求出数列的第五项和第六项，将f（a₅）+f（a₆）转化为）=-f（5）-f（6），再转化为求-f（2）-f（0），易得本题结论．

解答： 解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），且f（0）=0．
∵函数f（x）满足f（

3

2

-x）=f（x），
∴f（

3

2

-x）=f（x）=-f（-x），
令-x=t，则有：
f（

3

2

+t）=-f（t），
∴f（3+t）=-f（

3

2

+t），
∴f（3+t）=f（t），
∴函数f（x）的周期为3
∵f（-2）=-3，
∴-f（2）=-3，
∴f（2）=3．
∵数列{a_n}满足a₁=-1，a_n=a_n-1-1（n∈N₊，且n≥2），
∴数列{a_n}是等差数列，首项为a₁=-1，公差为-1，
∴a_n=a₁+（n-1）d=-1-（n-1）=-n．
∴a₅=-5，a₆=-6．
∴f（a₅）+f（a₆）=f（-5）+f（-6）=-f（5）-f（6）=-f（2）-f（0）=-3．
故答案为：-3．

点评：本题考查了函数的奇偶性和周期性、等差数列的通项公式，本题有一定的综合性，但总体难度不大，属于基础题．