Question

已知A、B是椭

x2

2

+y²=1上的两点，且

AF

=λ

FB

，其中F为椭圆的右焦点．
（1）当λ=2时，求直线AB的方程；
（2）设M（

5

4

，0），求证：当实数λ变化时

MA

•

MB

恒为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）直线AB过椭圆右焦点F（1，0），设AB：x=my+1，代入椭圆方程，并整理得（2+m²）y²+2my-1=0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韦达定理结合题设条件能求出直线AB的方程．
（2）由已知条件推导出

MA

•

MB

=(x1-

5

4

)(x2-

5

4

)+y1y2=(my1-

1

4

)(my2-

1

4

)+y1y2=-

7

16

．由此证明当实数λ变化时

MA

•

MB

恒为定值．

解答： （1）解：由已知条件知，直线AB过椭圆右焦点F（1，0）．
又直线AB不与x轴重合时，
设AB：x=my+1，代入椭圆方程，并整理得（2+m²）y²+2my-1=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由根与系数的关系得y1+y2=

-2m

2+m2

，y1y2=

-1

2+m2

．
又由

AF

=2

FB

，得-y₁=2y₂，
所以y1=

-4m

2+m2

，y2=

2m

2+m2

．
于是

-8m2

(2+m2)2

=

-1

2+m2

，解之得m=±

14

7

．
故直线AB的方程为x±

14

7

y-1=0．（7分）
（2）证明：

MA

•

MB

=(x1-

5

4

)(x2-

5

4

)+y1y2=(my1-

1

4

)(my2-

1

4

)+y1y2
=(1+m2)y1y2-

m

4

(y1+y2)+

1

16

=-

1+m2

2+m2

+

m2

2(2+m2)

+

1

16

=

-16(1+m2)+8m2+(2+m2)

16(2+m2)

=

-14-7m2

16(2+m2)

=-

7

16

为定值．
经检验，当AB与x轴重合时也成立，
∴当实数λ变化时

MA

•

MB

恒为定值．（13分）

点评：本题考查直线方程的求法，考查向量的数量积为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．